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Rapporto incrementale di una funzione in un punto x0

Definizione 

Sia y = f(x) una funzione reale definita in un intorno di x0.

Si consideri un incremento (positivo o negativo) a   x0:    Dx = h; la funzione passerà allora dal valore f(x0) a quello di f(x0+h), subendo così un incremento Dy = f(x0+h) - f(x0). Si definisce rapporto incrementale della funzione f(x0) il rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della variabile indipendente, cioè: 

Significato geometrico del rapporto incrementale

Sia P(x0,f(x0)) un punto  nel piano cartesiano  appartenente alla curva di equazione  y=f(x). Si consideri inoltre un nuovo punto Q(x0+h,f(x0+h)) sul grafico di f, distinto da P, la cui ascissa x appartenga ancora all'insieme di definizione di f. Per come abbiamo scelto le cose  la retta s passante per P e Q è una secante del grafico di f.

Il rapporto incrementale

è il coefficiente angolare della retta PQ, cioè  il valore della tangente dell.angolo che la retta PQ forma con l.asse delle x (per il secondo teorema sui triangoli rettangoli). 

 

derivata  di una funzione in un punto x0

Definizione  

La derivata di una funzione rappresenta la variazione che subisce la funzione f rispetto alla variabile x. 

Si definisce derivata della funzione  reale y = f(x) in un punto x0 (e si indica con f'(x0) ), il limite, se esiste ed è finito , del rapporto incrementale:

cioè                                                        

Si parlerà di derivata destra (sinistra) se esiste ed è finito il limite destro (sinistro)del rapporto incrementale.

Una funzione è derivabile in un punto x0 se la derivata destra coincide con la derivata sinistra.

 

Significato geometrico della derivata

 

Quando h tende a zero, il punto P si avvicina sempre più al punto Q: la retta PQ allora, che dapprima era secante la curva, non diventa altro che la retta tangente alla curva nel punto x0  e l'angolo a tende all'angolo b.

Perciò la f.(x0) non rappresenta altro che il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto  x0 .